A esperança matemática, denotada como $E(X)$ ou $\mu_X$, serve como a medida fundamental de tendência central para uma variável aleatória. Representa o valor "médio de longo prazo" obtido em tentativas repetidas. Fisicamente, é o centro de massa de uma distribuição de probabilidade, calculado como a soma ponderada por probabilidades de todos os resultados possíveis.
Definições Formais
Para variáveis aleatórias discretas, definimos o valor esperado com base na Função de Massa de Probabilidade (FMP):
Definição 3.1.1
Seja $X$ uma variável aleatória discreta. O valor esperado é:
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
Definição 3.1.2
Se $X$ assume valores distintos $x_1, x_2, \dots$ com probabilidades $p_i$, então:
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
A Lei do Estatístico Inconsciente (LOTUS)
Para encontrar a esperança de uma variável transformada $g(X)$, não precisamos derivar a densidade de $g(X)$ primeiro.
Teorema 3.1.1 (LOTUS)
Para qualquer função $g$, o valor esperado de $g(X)$ é a soma dos valores da função ponderados pelas probabilidades originais:
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
Propriedades Principais
- Linearidade (Teorema 3.1.2): $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$. Isso vale mesmo que $X$ e $Y$ sejam dependentes!
- Monotonicidade (Teorema 3.1.4): Se $X(s) \le Y(s)$ para todos os resultados $s$, então $E(X) \le E(Y)$.
- Independência (Teorema 3.1.3): Se $X$ e $Y$ forem independentes, $E(XY) = E(X)E(Y)$.
Exemplo 3.1.6: Indicadores
Para uma função indicadora $I_A$, onde $X=1$ se $A$ ocorrer e $0$ caso contrário:
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$